Восстановление спектра полигармонического сигнала при медленных флюктуациях периода дискретизации

Введение. Полигармонические сигналы, спектр которых имеет линейчатый вид, часто встречаются в практических задачах. Примерами являются сигналы датчиков контроля вращающихся элементов механических систем, сигналы мониторов сердечных сокращений, сигналы радиотехнических систем с изменяющимся периодом повторения. Вследствие нестабильности частот гармоник в составе сигнала или флюктуаций периода дискретизации спектральные линии "расплываются". Эти искажения можно рассматривать как следствие изменений локального временного масштаба обрабатываемого сигнала. Такая трактовка позволяет предложить для восстановления спектра сигнала масштабно-инвариантные преобразования. Известные способы восстановления спектра сигнала, моменты взятия отсчетов которого априорно не известны, основаны на предварительном восстановлении самого сигнала и последующей оценке его спектра. Алгоритмы восстановления сигнала, заданного на временной сетке с неизвестными значениями координат узлов, характеризуются большой вычислительной сложностью, поскольку являются итерационными и используют методы оптимизационного поиска.

Цель работы. Синтезировать безытерационный алгоритм восстановления спектра полигармонического дискретного сигнала в предположении о медленном характере изменений периода дискретизации.

Материалы и методы. Для решения поставленной задачи в статье используется дискретный вариант преобразования Ламперти. Качество полученного алгоритма оценивается методом математического моделирования с применением тестового сигнала, известного из литературных источников.

Результаты. Математическое моделирование предлагаемого алгоритма доказало его работоспособность. Линейчатая структура спектра тестового сигнала, которая была искажена медленными изменениями периода дискретизации с амплитудой 20 % от среднего значения периода дискретизации, была восстановлена при ошибках в оценке частот и мощностей гармоник, сравнимых с соответствующими значениями, полученными из оценки спектра сигнала при его равномерной дискретизации. Максимальная ошибка оценки периода дискретизации составила 5 % от его среднего значения.

Заключение. Предложен новый безытерационный алгоритм восстановления линейчатого спектра дискретного полигармонического сигнала, использующий масштабно-инвариантное преобразование Ламперти. Синтезированный алгоритм можно использовать в простой итерационной процедуре для оценки изменений периода дискретизации.

1. Feichtinger H. G., Gröchenig K., Strohmer T. Efficient numerical methods in non-uniform sampling theory // Numerische Mathematik. 1995. Vol. 69. P. 423–440. doi: 10.1007/s002110050101

2. Algorithms for spectral analysis of irregularly sampled time series / A. Mathias, F. Grond, R. Guardans, D. Seese, M. Canela, H. H. Diebner // J. of Statistical Software. 2004. Vol. 11, № 2. P. 1–27. doi: 10.18637/jss.v011.i02

3. Babu P., Stoica P. Spectral analysis of nonuniformly sampled data – a review // Digital Signal Processing. 2010. Vol. 20. P. 359–378. doi: 10.1016/j.dsp.2009.06.019

4. Marziliano P., Vetterli M. Reconstruction of irregularly sampled discrete-time bandlimited signals with unknown sampling locations // IEEE Transaction on Signal Processing. 2000. Vol. 48, № 12. P. 3462–3471. doi: 10.1109/78.887038

5. Browning J. A method of finding unknown continuous time nonuniform sample locations of bandlimited functions // Advanced signal processing algorithms, architectures and implementations. 2004. Vol. XIV. P. 289–296. doi: 10.1117/12.560450

6. Browning J. Approximating signals from nonuniform continuous time samples at unknown locations // IEEE Transactions on Signal Processing. 2007. Vol. 55, № 4. P. 1549–1554. doi: 10.1109/tsp.2006.889979

7. Sampling at unknown locations, with an application in surface retrieval / M. Pacholska, B. Béjar Haro, A. Scholefield, M. Vetterli // Proc. of the 12th Intern. Conf. on Sampling Theory and Applicattions, Tallinn, Estonia, 03–07 July 2017. IEEE, 2017. P. 364–368. doi: 10.1109/sampta.2017.8024451

8. Поршнев С. В., Кусайкин Д. В. Алгоритмы повышения точности восстановления дискретных сигналов, заданных на неравномерной временнóй сетке с неизвестными координатами узлов // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2014. Т. 17, вып. 6. С. 17–23.

9. Поршнев С. В., Кусайкин Д. В. Исследование алгоритмов восстановления дискретных сигналов, заданных на неравномерной временной сетке с неизвестными значениями координат узлов. Ульяновск: Зебра, 2016. 211 с.

10. Porshnev S.V., Kusaykin D.V., Klevakin M. A. Features of the irregularly sampled discrete-time signals with unknown jittered sampling locations. Algorithms based on sampling locations correction // XI Intern. Scientific and Technical Conf. "Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics)", Omsk, Russia, 14–16 Nov. 2017. P. 1–5. doi: 10.1109/DYNAMICS.2017.8239494

11. Damaschke N., Kühn V., Nobach H. Bias correction for direct spectral estimation from irregularly sampled data including sampling schemes with correlation // EURASIP J. on Advances in Signal Processing. 2021. Art. num. 7. doi: 10.1186/s13634-020-00712-4

12. Lamperti J. Semi Stable Stochastic Processes // Transactions of the American Mathematical Society. 1962. Vol. 104. P. 62–78. doi: 10.1090/s0002-99471962-0138128-7

13. Flandrin P., Borgnat P., Amblard P. O. From Stationarity to Self-similarity, and Back: Variations on the Lamperti Transformation. In: Rangarajan G., Ding M. (eds). Processes with Long-Range Correlations. Lecture Notes in Physics. Vol. 621. Berlin, Heidelberg: Springer, 2003. doi: 10.1007/3-540-44832-2_5

14. Монаков А. А. Применение масштабно инвариантных преобразований при решении некоторых задач цифровой обработки сигналов // Успехи современной радиоэлектроники. 2007. Т. 65, № 11. С. 65–72.

15. Gray H. L., Zhang N. F. On a class of nonstationary processes // J. of Time Series Analysis. 1988. Vol. 9, № 2. P. 133–154. doi: 10.1111/j.14679892.1988.tb00460.x

16. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / пер. с англ. М.: Мир, 1990. 584 с.

17. Stoica P., Moses R. L. Introduction to Spectral Analysis. Upper Saddle River, USA: Prentice-Hall, 1997. 319 p.