radioelectronicsИзвестия высших учебных заведений России. РадиоэлектроникаJournal of the Russian Universities. Radioelectronics1993-89852658-4794Saint Petersburg Electrotechnical University10.32603/1993-8985-2024-27-2-37-48radioelectronics-862Research ArticleРАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ПЕРЕДАЧИ, ПРИЕМА И ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВRADIO ELECTRONIC FACILITIES FOR SIGNAL TRANSMISSION, RECEPTION AND PROCESSINGВосстановление спектра полигармонического сигнала при медленных флюктуациях периода дискретизацииReconstructing the Spectrum of a Polyharmonic Signal under Slow Fluctuations in the Sampling Periodhttps://orcid.org/0000-0003-4469-0501МонаковА. А.MonakovA. A.

Монаков Андрей Алексеевич – доктор технических наук (2000), профессор (2005) кафедры радиотехнических систем

Большая Морская, д. 67 А, Санкт-Петербург, 190000

Andrey A. Monakov, Dr Sci. (Eng.) (2000), Professor (2005) of the Department of Radio Engineering Systems

67 A, Bolshaya Morskaya St., St Petersburg 190000

a_monakov@mail.ruИнститут радиотехники и телекоммуникационных технологий, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроенияРоссияInstitute of Radio Technique and Telecommunication Technologies, Saint-Petersburg State University of Aerospace InstrumentationRussian Federation2024250420242723748Copyright © Монаков А.А., 20242024Монаков А.А.Monakov A.A.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://re.eltech.ru/jour/article/view/862Введение

Введение. Полигармонические сигналы, спектр которых имеет линейчатый вид, часто встречаются в практических задачах. Примерами являются сигналы датчиков контроля вращающихся элементов механических систем, сигналы мониторов сердечных сокращений, сигналы радиотехнических систем с изменяющимся периодом повторения. Вследствие нестабильности частот гармоник в составе сигнала или флюктуаций периода дискретизации спектральные линии "расплываются". Эти искажения можно рассматривать как следствие изменений локального временного масштаба обрабатываемого сигнала. Такая трактовка позволяет предложить для восстановления спектра сигнала масштабно-инвариантные преобразования. Известные способы восстановления спектра сигнала, моменты взятия отсчетов которого априорно не известны, основаны на предварительном восстановлении самого сигнала и последующей оценке его спектра. Алгоритмы восстановления сигнала, заданного на временной сетке с неизвестными значениями координат узлов, характеризуются большой вычислительной сложностью, поскольку являются итерационными и используют методы оптимизационного поиска.

Цель работы

Цель работы. Синтезировать безытерационный алгоритм восстановления спектра полигармонического дискретного сигнала в предположении о медленном характере изменений периода дискретизации.

Материалы и методы

Материалы и методы. Для решения поставленной задачи в статье используется дискретный вариант преобразования Ламперти. Качество полученного алгоритма оценивается методом математического моделирования с применением тестового сигнала, известного из литературных источников.

Результаты

Результаты. Математическое моделирование предлагаемого алгоритма доказало его работоспособность. Линейчатая структура спектра тестового сигнала, которая была искажена медленными изменениями периода дискретизации с амплитудой 20 % от среднего значения периода дискретизации, была восстановлена при ошибках в оценке частот и мощностей гармоник, сравнимых с соответствующими значениями, полученными из оценки спектра сигнала при его равномерной дискретизации. Максимальная ошибка оценки периода дискретизации составила 5 % от его среднего значения.

Заключение

Заключение. Предложен новый безытерационный алгоритм восстановления линейчатого спектра дискретного полигармонического сигнала, использующий масштабно-инвариантное преобразование Ламперти. Синтезированный алгоритм можно использовать в простой итерационной процедуре для оценки изменений периода дискретизации.

Introduction

Introduction. Polyharmonic signals with a line spectrum are often encountered in practical problems. Among the examples are signals from sensors monitoring rotating elements of mechanical systems, heart rate signals, or signals of radio systems with pulse-to-pulse repetition-period staggering. Due to instable frequencies of the signal harmonics or due to fluctuations in the sampling period, the line spectrum is disrupted. These distortions can be considered as a consequence of changes in the local time scale of the processed signal. This interpretation makes it possible to use scale-invariant transforms to reconstruct the signal spectrum. Methods for reconstructing the spectrum of a signal, the sampling moments of which are unknown a priori, are based on a preliminary reconstruction of the signal and subsequent estimation of its spectrum. Existing algorithms for reconstructing a signal sampled on an uneven time grid with unknown nodes are characterized by a high computational complexity due to their iterative nature and reliance on optimization search methods.

Aim

Aim. To synthesize a non-iteration algorithm for reconstructing the spectrum of a polyharmonic discrete signal under the assumption of slow changes in the sampling period.

Materials and methods

Materials and methods. To solve the problem, the digital Lamperti transform is implemented. The quality assessment of the proposed algorithm is realized via computer simulation using a test signal known from the literature on the digital spectral analysis.

Results

Results. The conducted computer simulation of the proposed algorithm has proven its feasibility. The line structure of the test signal spectrum, which was distorted by slow changes in the sampling period with an amplitude of 20 % of the mean value of the sampling period, was completely restored. Errors of the frequency and power estimates of individual signal harmonics exhibit values comparable with those derived from the spectrum estimate when the signal is evenly spaced. The error in estimating the sampling period comprised 5 % of its mean value.

Conclusion

Conclusion. A new iteration free algorithm for reconstructing the line spectrum of a discrete polyharmonic signal is proposed. The algorithm uses the scale invariant Lamperti transform. The synthesized algorithm can be used in a simple iterative procedure to estimate changes in the sampling period.

полигармонический сигналлинейчатый спектрнестабильность периода дискретизациипреобразование Лампертиpolyharmonic signalline spectrumuneven samplingLamperti transformReferencesFeichtinger H. G., Gröchenig K., Strohmer T. Efficient numerical methods in non-uniform sampling theory // Numerische Mathematik. 1995. Vol. 69. P. 423–440. doi: 10.1007/s002110050101Feichtinger H. G., Gröchenig K., Strohmer T. Efficient Numerical Methods in Non-Uniform Sampling Theory. Numerische Mathematik. 1995, vol. 69, pp. 423–440. doi: 10.1007/s002110050101Algorithms for spectral analysis of irregularly sampled time series / A. Mathias, F. Grond, R. Guardans, D. Seese, M. Canela, H. H. Diebner // J. of Statistical Software. 2004. Vol. 11, № 2. P. 1–27. doi: 10.18637/jss.v011.i02Mathias A., Grond F., Guardans R., Seese D., Canela M., Diebner H. H. Algorithms for Spectral Analysis of Irregularly Sampled Time Series. J. of Statistical Software. 2004, vol. 11, no. 2, pp. 1–27. doi: 10.18637/jss.v011.i02Babu P., Stoica P. Spectral analysis of nonuniformly sampled data – a review // Digital Signal Processing. 2010. Vol. 20. P. 359–378. doi: 10.1016/j.dsp.2009.06.019Babu P., Stoica P. Spectral Analysis of Nonuniformly Sampled Data – A Review. Digital Signal Processing. 2010, vol. 20, pp. 359–378. doi: 10.1016/j.dsp.2009.06.019Marziliano P., Vetterli M. Reconstruction of irregularly sampled discrete-time bandlimited signals with unknown sampling locations // IEEE Transaction on Signal Processing. 2000. Vol. 48, № 12. P. 3462–3471. doi: 10.1109/78.887038Marziliano P., Vetterli M. Reconstruction of Irregularly Sampled Discrete-Time Bandlimited Signals with Unknown Sampling Locations. IEEE Transaction on Signal Processing. 2000, vol. 48, no. 12, pp. 3462– 3471. doi: 10.1109/78.887038Browning J. A method of finding unknown continuous time nonuniform sample locations of bandlimited functions // Advanced signal processing algorithms, architectures and implementations. 2004. Vol. XIV. P. 289–296. doi: 10.1117/12.560450Browning J. A Method of Finding Unknown Continuous Time Nonuniform Sample Locations of Band-Limited Functions. Advanced Signal Processing Algorithms, Architectures and Implementations. 2004, vol. XIV, pp. 289–296. doi: 10.1117/12.560450Browning J. Approximating signals from nonuniform continuous time samples at unknown locations // IEEE Transactions on Signal Processing. 2007. Vol. 55, № 4. P. 1549–1554. doi: 10.1109/tsp.2006.889979Browning J. Approximating Signals from Nonuniform Continuous Time Samples at Unknown Locations. IEEE Transactions on Signal Processing. 2007, vol. 55, no. 4, pp. 1549–1554. doi: 10.1109/tsp.2006.889979Sampling at unknown locations, with an application in surface retrieval / M. Pacholska, B. Béjar Haro, A. Scholefield, M. Vetterli // Proc. of the 12th Intern. Conf. on Sampling Theory and Applicattions, Tallinn, Estonia, 03–07 July 2017. IEEE, 2017. P. 364–368. doi: 10.1109/sampta.2017.8024451Pacholska M., Béjar Haro B., Scholefield A., Vetterli M. Sampling at Unknown Locations, with an Application in Surface Retrieval. Proc. of the 12th Intern. Conf. on Sampling Theory and Applicattions, Tallinn, Estonia, 03–07 July 2017. IEEE, 2017, pp. 364– 368. doi: 10.1109/sampta.2017.8024451Поршнев С. В., Кусайкин Д. В. Алгоритмы повышения точности восстановления дискретных сигналов, заданных на неравномерной временнóй сетке с неизвестными координатами узлов // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2014. Т. 17, вып. 6. С. 17–23.Porshnev S. V., Kusaykin D. V. Algorithms for the Reconstruction of Irregularly Sampled DiscreteTime Signals with Unknown Sampling Locations. J. of the Russian Universities. Radioelectronics. 2014, vol. 17, no. 6, pp. 17–23. (In Russ.)Поршнев С. В., Кусайкин Д. В. Исследование алгоритмов восстановления дискретных сигналов, заданных на неравномерной временной сетке с неизвестными значениями координат узлов. Ульяновск: Зебра, 2016. 211 с.Porshnev S. V., Kusaykin D. V. Research of Algorithms for the Reconstruction of Non Uniform Sampled Discrete Time Signals with Unknown Sampling Locations. Ulyanovsk, 2016, 211 p. (In Russ.)Porshnev S.V., Kusaykin D.V., Klevakin M. A. Features of the irregularly sampled discrete-time signals with unknown jittered sampling locations. Algorithms based on sampling locations correction // XI Intern. Scientific and Technical Conf. "Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics)", Omsk, Russia, 14–16 Nov. 2017. P. 1–5. doi: 10.1109/DYNAMICS.2017.8239494Porshnev S.V., Kusaykin D.V., Klevakin M. A. Features of the Irregularly Sampled Discrete-Time Signals with Unknown Jittered Sampling Locations. Algorithms Based on Sampling Locations Correction. XI Intern. Scientific and Technical Conf. "Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics)", Omsk, Russia, 14–16 Nov. 2017, pp. 1–5. doi: 10.1109/DYNAMICS.2017.8239494Damaschke N., Kühn V., Nobach H. Bias correction for direct spectral estimation from irregularly sampled data including sampling schemes with correlation // EURASIP J. on Advances in Signal Processing. 2021. Art. num. 7. doi: 10.1186/s13634-020-00712-4Damaschke N., Kühn V., Nobach H. Bias Correction for Direct Spectral Estimation From Irregularly Sampled Data Including Sampling Schemes with Correlation. EURASIP J. on Advances in Signal Processing. 2021, art. num. 7. doi: 10.1186/s13634-020-00712-4Lamperti J. Semi Stable Stochastic Processes // Transactions of the American Mathematical Society. 1962. Vol. 104. P. 62–78. doi: 10.1090/s0002-99471962-0138128-7Lamperti J. Semi Stable Stochastic Processes. Transactions of the American Mathematical Society. 1962, vol. 104, pp. 62–78. doi: 10.1090/s0002-99471962-0138128-7Flandrin P., Borgnat P., Amblard P. O. From Stationarity to Self-similarity, and Back: Variations on the Lamperti Transformation. In: Rangarajan G., Ding M. (eds). Processes with Long-Range Correlations. Lecture Notes in Physics. Vol. 621. Berlin, Heidelberg: Springer, 2003. doi: 10.1007/3-540-44832-2_5Flandrin P., Borgnat P., Amblard P. O. From Stationarity to Self-similarity, and Back: Variations on the Lamperti Transformation. In: Rangarajan G., Ding M. (eds). Processes with Long-Range Correlations. Lecture Notes in Physics. Vol. 621. Berlin, Heidelberg, Springer, 2003. doi: 10.1007/3-540-44832-2_5Монаков А. А. Применение масштабно инвариантных преобразований при решении некоторых задач цифровой обработки сигналов // Успехи современной радиоэлектроники. 2007. Т. 65, № 11. С. 65–72.Monakov A. A. Scale-Invariant Transformations in Some Problems of Digital Signal Processing. Achievements of Modern Radioelectronics. 2007, vol. 65, no. 11, pp. 65–72. (In Russ.)Gray H. L., Zhang N. F. On a class of nonstationary processes // J. of Time Series Analysis. 1988. Vol. 9, № 2. P. 133–154. doi: 10.1111/j.14679892.1988.tb00460.xGray H. L., Zhang N. F. On a Class of Nonstationary Processes. J. of Time Series Analysis. 1988, vol. 9, no. 2, pp. 133–154. doi: 10.1111/j.14679892.1988.tb00460.xМарпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / пер. с англ. М.: Мир, 1990. 584 с.Marple Jr. S. L. Digital Spectral Analysis with Applications. New Jersey, Prentice-Hall, 1987, 492 p. 17. Stoica P., Moses R. L. Introduction to Spectral Analysis. Upper Saddle River, USA, Prentice-Hall, 1997, 319 p.Stoica P., Moses R. L. Introduction to Spectral Analysis. Upper Saddle River, USA: Prentice-Hall, 1997. 319 p.Stoica P., Moses R. L. Introduction to Spectral Analysis. Upper Saddle River, USA: Prentice-Hall, 1997. 319 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.