radioelectronicsИзвестия высших учебных заведений России. РадиоэлектроникаJournal of the Russian Universities. Radioelectronics1993-89852658-4794Saint Petersburg Electrotechnical University10.32603/1993-8985-2025-28-3-57-72radioelectronics-1016Research ArticleСИСТЕМЫ, СЕТИ И УСТРОЙСТВА ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙTELECOMMUNICATION SYSTEMS, NETWORKS AND DEVICESОценка задержек в сетях с согласованной динамикой поступленийDelay Estimation in Networks with Cooperative Arrival Dynamicshttps://orcid.org/0000-0002-6099-8867МаркеловО. А.MarkelovO. А.

Маркелов Олег Александрович – кандидат технических наук (2014), и. о. заведующего кафедрой радиотехнических систем

Автор 130 научных работ. Сфера научных интересов – статистический анализ временных рядов; теория телетрафика.

 

ул. Профессора Попова, д. 5 Ф, Санкт-Петербург, 197022

Oleg A. Markelov, Cand. Sci. (Eng.) (2014), Associate Professor of the Department of Radio Engineering Systems

The author of 140 scientific publications. Area of expertise: statistical analysis of time series; Internet traffic.

5 F, Professor Popov St., St Petersburg 197022

https://orcid.org/0009-0005-1489-8725ТымченкоН. С.TymchenkoN. S.

Тымченко Никита Сергеевич – магистр по специальности "Радиотехника", инженер кафедры радиотехнических систем

Автор восьми научных публикаций. Сфера научных интересов – системы массового обслуживания; интернет-трафик; математическое моделирование.

ул. Профессора Попова, д. 5 Ф, Санкт-Петербург, 197022

Nikita S. Tymchenko, Master's degree in Radio Engineering (2025), Engineer of the Department of Radio Engineering

Author of 8 scientific publications. Area of expertise: mass service systems; Internet traffic; mathematical modeling.

5 F, Professor Popov St., St Petersburg 197022

https://orcid.org/0000-0002-0356-5651БогачевМ. И.BogachevM. I.

Богачев Михаил Игоревич – доктор технических наук (2018), доцент (2011), профессор кафедры радиотехнических систем, главный научный сотрудник кафедры радиотехнических систем

Автор 260 научных работ. Сфера научных интересов – статистический анализ данных; математическое моделирование.

ул. Профессора Попова, д. 5 Ф, Санкт-Петербург, 197022

Mikhail I. Bogachev, Dr Sci. (Eng.) (2018), Associate Professor (2011), Professor of the Department of Radio Engineering Systems, Chief Researcher of the Scientific and Department of Radio Engineering Systems

The author of 260 scientific publications. Area of expertise: statistical data analysis; mathematical modeling.

5 F, Professor Popov St., St Petersburg 197022

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова (Ленина)РоссияSaint Petersburg Electrotechnical UniversityRussian Federation2025050720252835772Copyright © Маркелов О.А., Тымченко Н.С., Богачев М.И., 20252025Маркелов О.А., Тымченко Н.С., Богачев М.И.Markelov O.А., Tymchenko N.S., Bogachev M.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://re.eltech.ru/jour/article/view/1016

Введение. Современные сложные системы с сетевой структурой характеризуются пространственно-временной долговременной зависимостью потоков. Существующие модели теории массового обслуживания, основанные на предположениях о стационарности и взаимной статистической независимости флуктуаций интенсивности входящих потоков, существенно недооценивают реальные задержки.Цель работы. Разработка усовершенствованной модели оценки задержек агрегированного трафика в высоконагруженных сетях с учетом статистических характеристик взаимосвязей между флуктуациями активности в узлах и каналах сети.Материалы и методы. Применен суперстатистический подход для аналитической коррекции формулы Кингмана при оценке времени ожидания на основе вычисления коэффициентов вариации интенсивностей поступления и взаимных корреляций между интенсивностями трафика, сформированного различными узлами. Для оценки характеристик агрегированного трафика использованы аналитически полученные аппроксимации плотностей вероятности распределения задержки q-экспоненциальными распределениями, результаты которых подтверждаются данными имитационного моделирования агрегированного трафика. Дополнительно выполнена валидация предложенных оценок на примере анализа эмпирических данных трафика магистральной академической сети MAWI. Длительность анализируемых временных сегментов трафика была адаптирована для адекватного сравнения результатов для модельных и эмпирических данных, при этом интегральные статистики построены на основе результатов анализа нескольких полносуточных записей.Результаты. Разработана аналитическая модель для оценки задержек в агрегированном трафике, учитывающая коэффициенты вариации интенсивности поступления и взаимные корреляции интенсивностей трафика, исходящего от различных узлов сети. Показано, что аналитическая оценка распределения задержек дает промежуточный результат между оценками, получаемыми при использовании двух схем моделирования. Это обусловлено превалированием ошибок дискретности или конечности выборки данных в зависимости от схемы моделирования.Заключение. Применение суперстатистического подхода для учета статистических взаимосвязей позволяет уточнить оценки времен запаздывания в высоконагруженных сетях на основе подстановки скорректированных характеристик агрегированного трафика в формулу Кингмана, что позволяет уточнить оценки задержек в сложных технических системах с сетевой структурой. 

Introduction. Modern complex systems with a network structure are characterized by spatial and temporal long-term dependence of flows. The existing models of mass service theory based on the assumptions of stationarity and mutual statistical independence of fluctuations in the intensity of incoming flows significantly underestimate real delays.Aim. Development of an improved model for estimation of aggregated traffic delays in highly loaded networks taking into account statistical characteristics of interrelations between activity fluctuations in nodes and channels of the network.Materials and methods. A superstatistical approach is applied to analytically correct the Kingman formula for estimating the waiting time based on the calculation of the coefficients of variation of arrival intensities and mutual correlations between the intensities of the traffic generated by different nodes. Analytically obtained approximations of probability densities of delay distribution by q-exponential distributions are used to estimate the characteristics of aggregated traffic, the results of which are confirmed by the data of simulation modeling of aggregated traffic. In addition, the validation of the proposed estimations is performed on the example of analyzing empirical traffic data of the MAWI academic backbone network. The duration of the analyzed time segments of the traffic was adapted to adequately compare the results for model and empirical data, with integral statistics constructed based on the results of the analysis of several full-day records.Results. An analytical model for estimating delays in aggregated traffic was developed, taking into account the coefficients of variation of arrival intensities and mutual correlations of traffic intensities originating from different nodes in the network. The analytical estimation of delay distribution was shown to give an intermediate result between the estimations obtained by using two modeling schemes, which is caused by the prevalence of errors of discreteness or finiteness of data sampling depending on the modeling scheme.Conclusion. The application of the superstatistical approach to account for statistical interrelationships allows the estimates of delay times in highly loaded networks to be clarified on the basis of substituting the adjusted characteristics of aggregated traffic into the Kingman formula, thus providing more detailed estimates of delays in complex engineering systems with a network structure.

нестационарный интернет-трафиксистемы массового обслуживаниясуперстатистический подходвзаимно коррелированные интенсивности поступлениявремя запаздыванияnon-stationary Internet trafficqueuing systemssuperstatistical approachmutually correlated arrival ratesdelay timeДанное исследование было поддержано Министерством науки и высшего образования (задание № FSEE-2025-0006).This research was supported by the Ministry of Science and Higher Education (assignment number FSEE-2025-0006).ReferencesErlang A. K. Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in automatic telephone exchanges // Elektrotkeknikeren. 1917. Vol. 13. P. 138–155.Erlang A. K. Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in automatic telephone exchanges // Elektrotkeknikeren. 1917. Vol. 13. P. 138–155.Pollaczek F. Über Eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie I // Mathematische Zeitschrift. 1930. Vol. 32, № 1. P. 64–100. doi: 10.1007/BF01194620Pollaczek F. Über Eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie I // Mathematische Zeitschrift. 1930. Vol. 32, № 1. P. 64–100. doi: 10.1007/BF01194620Хинчин А. Я. Математическая теория стационарной очереди // Мат. сб. 1932. Т. 39, № 4. С. 73–84.Khintchine A.Ya. Matematicheskaya teoriya statsionarnoi ocheredi [Mathematical Theory of Sta- tionary Queues]. Matem. Sbornik. 1932, vol. 39, no. 4, pp. 73–84. (In Russ.)Kingman J. F. C. The single server queue in heavy traffic // Mathematical Proc. of the Cambridge Philosophical Society. 1961. Vol. 57, № 04. P. 902–904. doi: 10.1017/S0305004100036094Kingman J. F. C. The single server queue in heavy traffic // Mathematical Proc. of the Cambridge Philosophical Society. 1961. Vol. 57, № 04. P. 902–904. doi: 10.1017/S0305004100036094Marchal W. G. An approximate formula for waiting time in single server queues // AIIE Trans. 1976. Vol. 8, № 4. P. 473–474. doi: 10.1080/05695557608975111Marchal W. G. An approximate formula for waiting time in single server queues // AIIE Trans. 1976. Vol. 8, № 4. P. 473–474. doi: 10.1080/05695557608975111Krämer W., Langenbach-Belz M. Approximate formulae for the delay in the queueing system GI/G/l // Proc. 8th Intern. Teletraffic Congr. 1976. Vol. 235, № 1. P. 1–8.Krämer W., Langenbach-Belz M. Approximate formulae for the delay in the queueing system GI/G/l // Proc. 8th Intern. Teletraffic Congr. 1976. Vol. 235, № 1. P. 1–8.On the self-similar nature of ethernet traffic (extended version) / W. E. Leland, M. S. Taqqu, W. Willinger, D. V. Wilson // IEEE/ACM Transactions on Networking. 1994. Vol. 2, iss. 1. P. 1–15. doi: 10.1109/90.282603On the self-similar nature of ethernet traffic (extended version) / W. E. Leland, M. S. Taqqu, W. Willinger, D. V. Wilson // IEEE/ACM Transactions on Networking. 1994. Vol. 2, iss. 1. P. 1–15. doi: 10.1109/90.282603Paxson V., Floyd S. Wide area traffic: the failure of Poisson modeling // IEEE/ACM Transactions on Networking. 1995. Vol. 3, iss. 3. P. 226–244. doi: 10.1109/90.392383Paxson V., Floyd S. Wide area traffic: the failure of Poisson modeling // IEEE/ACM Transactions on Networking. 1995. Vol. 3, iss. 3. P. 226–244. doi: 10.1109/90.392383The changing nature of network traffic: Scaling phenomena / A. Feldmann, A. C. Gilbert, W. Willinger, T. G. Kurtz // ACM SIGCOMM Comput. Commun. Rev. 1998. Vol. 28, iss. 2. P. 5–29. doi: 10.1145/279345.279346The changing nature of network traffic: Scaling phenomena / A. Feldmann, A. C. Gilbert, W. Willinger, T. G. Kurtz // ACM SIGCOMM Comput. Commun. Rev. 1998. Vol. 28, iss. 2. P. 5–29. doi: 10.1145/279345.279346Park K., Willinger W. Self-Similar Network Traffic and Performance Evaluation. John Wiley & Sons, 2000. 558 p. doi: 10.1002/047120644XPark K., Willinger W. Self-Similar Network Traffic and Performance Evaluation. John Wiley & Sons, 2000. 558 p. doi: 10.1002/047120644XUniversal model for collective access patterns in the Internet traffic dynamics: A superstatistical approach / A. Tamazian, V. Nguyen, O. Markelov, M. Bogachev // EPL. 2016. Vol. 115, № 1. Art. № 10008. doi: 10.1209/0295-5075/115/10008Universal model for collective access patterns in the Internet traffic dynamics: A superstatistical approach / A. Tamazian, V. Nguyen, O. Markelov, M. Bogachev // EPL. 2016. Vol. 115, № 1. Art. № 10008. doi: 10.1209/0295-5075/115/10008Markelov O., Duc V. N., Bogachev M. Statistical modeling of the Internet traffic dynamics: To which extent do we need long-term correlations? // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2017. Vol. 485. P. 48–60. doi: 10.1016/j.physa.2017.05.023Markelov O., Duc V. N., Bogachev M. Statistical modeling of the Internet traffic dynamics: To which extent do we need long-term correlations? // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2017. Vol. 485. P. 48–60. doi: 10.1016/j.physa.2017.05.023Universal rank-size statistics in network traffic: Modeling collective access patterns by Zipf’s law with long-term correlations / V. Nguyen, O. Markelov, A. Serdyuk, A. Vasenev, M. Bogachev // EPL. 2018. Vol. 123, № 5. Art. № 50001. doi: 10.1209/0295-5075/123/50001Universal rank-size statistics in network traffic: Modeling collective access patterns by Zipf’s law with long-term correlations / V. Nguyen, O. Markelov, A. Serdyuk, A. Vasenev, M. Bogachev // EPL. 2018. Vol. 123, № 5. Art. № 50001. doi: 10.1209/0295-5075/123/50001Service delays in strongly linked network communities / M. Bogachev, N. Pyko, S. Pyko, A. Vasenev // J. of Physics: Conf. Ser. 2019. Vol. 1352, iss. 1. Art. № 012006. doi: 10.1088/1742-6596/1352/1/012006Service delays in strongly linked network communities / M. Bogachev, N. Pyko, S. Pyko, A. Vasenev // J. of Physics: Conf. Ser. 2019. Vol. 1352, iss. 1. Art. № 012006. doi: 10.1088/1742-6596/1352/1/012006Liu Y., Whitt W. Stabilizing performance in networks of queues with time-varying arrival rates // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2014. Vol. 28, № 4. P. 419–449. doi: 10.1017/S0269964814000084Liu Y., Whitt W. Stabilizing performance in networks of queues with time-varying arrival rates // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2014. Vol. 28, № 4. P. 419–449. doi: 10.1017/S0269964814000084Pender J., Rand R. H., Wesson E. An analysis of queues with delayed information and time-varying arrival rates // Nonlinear Dyn. 2018. Vol. 91, № 4. P. 2411–2427. doi: 10.1007/s11071-017-4021-0Pender J., Rand R. H., Wesson E. An analysis of queues with delayed information and time-varying arrival rates // Nonlinear Dyn. 2018. Vol. 91, № 4. P. 2411–2427. doi: 10.1007/s11071-017-4021-0Whitt W. Time-varying queues. Queueing Models Serv. Manag. 2018. Vol. 1, № 2. P. 79–164.Whitt W. Time-varying queues. Queueing Models Serv. Manag. 2018. Vol. 1, № 2. P. 79–164.Dudin A., Klimenok V. I., Vishnevsky V. M. The Theory of Queuing Systems with Correlated Flows. Cham: Springer, 2020. 410 p. doi: 10.1007/978-3-030-32072-0Dudin A., Klimenok V. I., Vishnevsky V. M. The Theory of Queuing Systems with Correlated Flows. Cham: Springer, 2020. 410 p. doi: 10.1007/978-3-030-32072-0An approximate mean queue length formula for queueing systems with varying service rate / J. Zhang, T. T. Lee, T. Ye, L. Huang // J. of Industrial and Management Optimization. 2021. Vol. 17, iss. 1. P. 185–204. doi: 10.3934/jimo.2019106An approximate mean queue length formula for queueing systems with varying service rate / J. Zhang, T. T. Lee, T. Ye, L. Huang // J. of Industrial and Management Optimization. 2021. Vol. 17, iss. 1. P. 185–204. doi: 10.3934/jimo.2019106Bogachev M., Eichner J., Bunde A. The effects of multifractality on the statistics of return intervals // The European Physical J. Special Topics. 2008. Vol. 161, № 1. P. 181–193. doi: 10.1140/epjst/e2008-00760-5Bogachev M., Eichner J., Bunde A. The effects of multifractality on the statistics of return intervals // The European Physical J. Special Topics. 2008. Vol. 161, № 1. P. 181–193. doi: 10.1140/epjst/e2008-00760-5Bogachev M. I., Eichner J. F., Bunde A. On the occurrence of extreme events in long-term correlated and multifractal data sets // Pure and Applied Geophysics. 2008. Vol. 165. P. 1195–1207. doi: 10.1007/s00024-008-0353-5Bogachev M. I., Eichner J. F., Bunde A. On the occurrence of extreme events in long-term correlated and multifractal data sets // Pure and Applied Geophysics. 2008. Vol. 165. P. 1195–1207. doi: 10.1007/s00024-008-0353-5Podobnik B., Stanley H. E. Detrended crosscorrelation analysis: A new method for analyzing two nonstationary time series // Phys. Rev. Let. 2008. Vol. 100, № 8. Art. № 084102. doi: 10.1103/PhysRevLett.100.084102Podobnik B., Stanley H. E. Detrended crosscorrelation analysis: A new method for analyzing two nonstationary time series // Phys. Rev. Let. 2008. Vol. 100, № 8. Art. № 084102. doi: 10.1103/PhysRevLett.100.084102Detrended partial cross-correlation analysis of two nonstationary time series influenced by common external forces / X.-Y. Qian, Y.-M. Liu, Z.-Q. Jiang, B. Podobnik, W.-X. Zhou, H. E. Stanley // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 91, № 6. Art. № 062816. doi:10.1103/PhysRevE.91.062816Detrended partial cross-correlation analysis of two nonstationary time series influenced by common external forces / X.-Y. Qian, Y.-M. Liu, Z.-Q. Jiang, B. Podobnik, W.-X. Zhou, H. E. Stanley // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 91, № 6. Art. № 062816. doi:10.1103/PhysRevE.91.062816Detrended partial-cross-correlation analysis: A new method for analyzing correlations in complex system / N. Yuan, Z. Fu, H. Zhang, L. Piao, E. Xoplaki, J. Luterbacher // Scientific Reports. 2015. Vol. 5, № 1. P. 1–7. Art. № 8143. doi: 10.1038/srep08143Detrended partial-cross-correlation analysis: A new method for analyzing correlations in complex system / N. Yuan, Z. Fu, H. Zhang, L. Piao, E. Xoplaki, J. Luterbacher // Scientific Reports. 2015. Vol. 5, № 1. P. 1–7. Art. № 8143. doi: 10.1038/srep08143Bogachev M., Bunde A. On the occurrence and predictability of overloads in telecommunication networks // EPL. 2009. Vol. 86, № 6. Art. № 66002. doi: 10.1209/0295-5075/86/66002Bogachev M., Bunde A. On the occurrence and predictability of overloads in telecommunication networks // EPL. 2009. Vol. 86, № 6. Art. № 66002. doi: 10.1209/0295-5075/86/66002Approximate waiting times for queuing systems with variable long-term correlated arrival rates / M. I. Bogachev, A. V. Kuzmenko, O. A. Markelov, N. S. Pyko, S. A. Pyko // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2023. Vol. 614. Art. № 128513. doi: 10.1016/j.physa.2023.128513Approximate waiting times for queuing systems with variable long-term correlated arrival rates / M. I. Bogachev, A. V. Kuzmenko, O. A. Markelov, N. S. Pyko, S. A. Pyko // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2023. Vol. 614. Art. № 128513. doi: 10.1016/j.physa.2023.128513Approximate waiting times for queuing systems with variable cross-correlated arrival rates / M. I. Bogachev, N. S. Pyko, N. S. Tymchenko, S. A. Pyko, O. A. Markelov // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2024. Vol. 654. Art. № 130152. doi: 10.1016/j.physa.2024.130152Approximate waiting times for queuing systems with variable cross-correlated arrival rates / M. I. Bogachev, N. S. Pyko, N. S. Tymchenko, S. A. Pyko, O. A. Markelov // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2024. Vol. 654. Art. № 130152. doi: 10.1016/j.physa.2024.130152Kendall D. G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded Markov chain // The Annals of Mathematical Statistics. 1953. Vol. 24, iss. 3. P. 338–354. doi: 10.1214/aoms/1177728975Kendall D. G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded Markov chain // The Annals of Mathematical Statistics. 1953. Vol. 24, iss. 3. P. 338–354. doi: 10.1214/aoms/1177728975IoT network model with multimodal node distribution and data-collecting mechanism using mobile clustering nodes / D. Vorobyova, A. Muthanna, A. Paramonov, O. A. Markelov, A. Koucheryavy, G. Ali, E. L. M. Affendi, A. A. Abd El-Latif // Electronics. 2023. Vol. 12, № 6. Art. № 1410. doi: 10.3390/electronics12061410IoT network model with multimodal node distribution and data-collecting mechanism using mobile clustering nodes / D. Vorobyova, A. Muthanna, A. Paramonov, O. A. Markelov, A. Koucheryavy, G. Ali, E. L. M. Affendi, A. A. Abd El-Latif // Electronics. 2023. Vol. 12, № 6. Art. № 1410. doi: 10.3390/electronics12061410Little J. D. A proof for the queuing formula: L = λW // Operations Research. 1961. Vol. 9, № 3. P. 383–387. doi: 10.1287/opre.9.3.383Little J. D. A proof for the queuing formula: L = λW // Operations Research. 1961. Vol. 9, № 3. P. 383–387. doi: 10.1287/opre.9.3.383Oliver R. M. An alternate derivation of the Pollaczek-Khintchine formula // Oper. Res. 1964. Vol. 12, № 1. P. 158–159. doi: 10.1287/opre.12.1.158Oliver R. M. An alternate derivation of the Pollaczek-Khintchine formula // Oper. Res. 1964. Vol. 12, № 1. P. 158–159. doi: 10.1287/opre.12.1.158Cohen J. E. Sum of a random number of correlated random variables that depend on the number of summands // The American Statistician. 2019. Vol. 73, iss. 1. P. 56–60. doi: 10.1080/00031305.2017.1311283Cohen J. E. Sum of a random number of correlated random variables that depend on the number of summands // The American Statistician. 2019. Vol. 73, iss. 1. P. 56–60. doi: 10.1080/00031305.2017.1311283

The authors declare that there are no conflicts of interest present.